Números Complexos

LISTA DE EXERCÍCIOS 

1-      Sendo z= (4m-5) + (n-1) i, determine os números reais m e n tal que
  z = 0

2-      Sabendo que z¹ = x² -1 + (4 – y) i   e   z² =  3 – 10i, determine x e y, para que z¹ seja igual a z²

3-      Calcule:

      a)  (6-i) + (4+2i) – (5- 3i);                           b) ( 5 + 2i)²;

4-      Ache o conjugado de Z= (3 +i) – (2+5i)

5-      Achar todos os valores reais de X, de modo que a parte real do número complexo

  z =   x– 1   seja negativa.                                                                                                                     _____

                x + 1                                                                                                                                          

6- Efetue: 5 + i
                ______

                     i

7- Calcule:  a) i²⁸     b) i¹⁴           c) i⁹²        d) i¹⁰⁸¹

     8- coloque na forma  a + bi  o número complexo  i⁴ – 2i² +i⁶ – 3i⁹

                                                                                                          ^{___________________}

                                                                                   i¹⁶ – i ²⁰ + i³⁵

    9- Determinar o módulo e o argumento do complexo z= √3 + i e fazer sua representação geométrica.

10- Passar para a forma trigonométrica o número complexo z= 1 + √3 i

11- Determinar o número complexo z tal que 2z – 1 = z +1

Números complexos parte 3

PLANO DE ARGAND GAUSS

Representação  do nº complexo a+bi no plano cartesiano: No eixo das abscissas representa-se a parte real; No eixo das ordenadas a parte imaginária de Z

OXà eixo real

OYà eixo imaginário

Pà afixo ou imagem geométrica de Z

MÓDULO E ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Aplica O Teorema de Pitágoras :  p² = a² + b² à p=√a² + b²

A distância   p de P até a origem O é chamado MÒDULO de Z e indica-se

                   

  

 |z| = | a + b| = p = √ a² + b²

Denomina-se ARGUMENTO a medida do ângulo Ө, formado por OP com o eixo real OX no sentido anti-horárioà Ө = arg(z).

 Este ângulo Ө deve satisfazer a condição 0 ≤ Ө≤ 2¶

 Logo: cos Ө = a           sen Ө = b

                       ____                          _____

                             p                        p

FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR

cos Ө = a       à a= p. cos Ө  

            ____

              p                                  

 sen Ө = b    à b= p. sen Ө

               ____

                 p 

Substituindo em: Z= a + bi à z= p. cos Ө + p. sen Ө .i à z= p(  cos Ө + i . sen  Ө )

Números Complexos parte 2

CONJUGADO

Dado um número complexo a+bi , chama-se conjugado de Z o número complexo   = a - bi

exemplos : Z= 1 + 2i      =>  = 1 - 2i

  

                  Z= 3i          =>  = - 3i

                  Z= 5           =>   = 5

POTENCIAS DE   i

Seja i a unidade imaginária , Vamos calcular    iⁿ   para alguns valores naturais de n

i ⁰ = 1

i ¹ = i

i ² = – 1
i ³ = i² . i = (–1) . i = –i

i ⁴ = i² . i² = (–1) . (– 1) = 1

i ⁵ = i⁴ . i = 1 . i = i
i ⁶ = i⁵ . i = i . i = i² = –1
i ⁷ = i⁶ . i = (–1) . i = – i
i ⁸ = i⁴ . i⁴ = 1 . 1 = 1
i⁹ = i⁸ . i = 1 . i = i
i¹⁰ =(i²)⁵ = (–1)⁵ = –1

Números Complexos parte 1

Historicamente, uma equação era vista como a formulação matemática de um problema concreto. Quando no processo de resolução aparecia um radicando negativo, os matemáticos simplesmente concluíam o problema não tinha solução prática.

A existência de equações do tipo x²+1=0 preocupava demais os matemáticos do século XV, já que só era utilizados os conjuntos dos nº. reais.

 Como se sabe esta equação não tem solução no campo dos nº. reais, então se criou um nº. cujo quadrado é -1 esse nº. foi representado pela letra i e foi chamado de unidade imaginária e só ganhou impulso com a interpretação geométrico proposta por Gauss em (1777-1855 )

X²+1 = 0 à X² = -1 àX= + - √- 1 à X= + i    e    X = - i

Daí surgiu um novo conjunto de números denominado CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS e indicado pela letra C

FORMA ALGÉBRICA

Z= a + bi, com a e b €  R.  onde  a = parte real

                                                      b= parte imaginária

OBS: Um número é real quando a parte imaginária dele é nula. Z = a + 0i à Z= a

         Um número é imaginário puro quando a parte real é nula. Z = 0 + bià Z=bi

Exercício: Determinar o valor de K para que o nº. complexo Z = (K – 3) + 6i seja imaginário puro.

K-3 = 0  logo  à K = 3

ALGEBRA DOS Nºs COMPLEXOS:

IGUALDADE:

Z¹= a + bi      Z²= c + di à Z¹ = Z²     à a = c

                                                                   b = d

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

(a+ bi) + (c+ di) à (a+c) + ( b+ d)i         (a+bi) – (c+ di)à (a+c) – (c+ d)i

MULTIPLICAÇÃO:

(a + bi) . (c + di) à (ac- bd) + (ad +bc) i

CONJUGADO: à  Z = a + bi       Z= a – bi   à  Só muda o sinal da parte imaginária.

DIVISÃO:

Z¹: Z² à    Z¹.Z²         à    a + bi à a + bi . c – di

                  --------                _____     ____________

                   Z². Z²                c + di      c + di . c – di

Razão e Proporção

LISTA DE EXERCÍCIOS

1)Determinar o valor de x para que a razão x/3 esteja em proporção com 4/6.

2) A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo respectivamente  sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos?

3) O peso de uma sacola em kg está para o peso de uma outra sacola também em kg, assim como 32 está para 28. Quanto pesa cada uma das sacolas, sabendo-se que juntas elas pesam 15kg

4)A diferença dos volumes de dois sólidos é 9cm³ e a sua razão é 2/3. Achar os volumes

5)A razão das áreas de duas figuras é 4/7. Achar essas áreas sabendo que a soma é 66 cm².

6)Se João emagrecesse 10 kg , ele passaria a ter 75% do seu peso atual . Então , seu peso atual é:

7)Um indivíduo ao engordar passou a ter 38% a mais em seu peso . Se tivesse engordado de tal maneira a aumentar seu peso em apenas 15%, estaria pesando 18,4 kg a menos . Qual era seu peso original?

8) Um automóvel com velocidade de 80 km/h demora 3h para percorrer uma certa distância.Quanto o tempo demorará para percorrer a mesma distância um outro auto cuja velocidade é de 120 km/h?

9)A soma de dois números é igual a 46. O primeiro está para o segundo, assim como 87 está para 51. Quais são os números?

10) Quatro números, 72,56,90,e X todos diferentes de zero, formam nesta ordenm uma proporção. Qual o valor da quarta proporcional X?

PROBABILIDADE

LISTA DE EXERCÍCIOS

1 - Num grupo de 100 pessoas, 70 têm sangue com RH positivo e 45 têm sangue tipo O. Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa desse grupo, qual é a probabilidade de o sangue dessa pessoa ser de tipo diferente de O?

2 - Uma caixa contém nove peças das quais apenas 3 são defeituosas. A probabilidade de serem escolhidas duas peças não defeituosas de uma só vez é

3 - Num baralho normal de 52 cartas há 13 cartas (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) de cada um dos 4 naipes (copas, ouro, paus e espadas). De um baralho normal de 52 cartas e mais 2 coringas é retirada uma carta ao acaso.

a) Qual a probabilidade de ser um valete de paus?

b) Qual a probabilidade de ser um coringa, em jogos que também consideram o 2 como coringa?

4 - Três pessoas A, B e C vão participar de um concurso num programa de televisão. O apresentador faz um sorteio entre A e B e, em seguida, faz um sorteio, para decidir quem iniciará o concurso. Se em cada sorteio as duas pessoas têm a mesma "chance" de ganhar, qual é a probabilidade de A, iniciar o concurso?

5 - Uma carta é retirada de um baralho comum, de 52 cartas, e, sem saber qual é a carta, é misturada com as cartas de um outro baralho idêntico ao primeiro. Retirando, em seguida, uma carta do segundo baralho, a probabilidade de se obter uma dama é:

6 - A probabilidade de um cavalo vencer três ou menos corridas é de 58%; a probabilidade de ele vencer três ou mais corridas é de 71%. Qual a probabilidade de o cavalo vencer exatamente 3 corridas?

7 - Numa sala existem seis casais. Entre essas doze pessoas, duas são selecionadas ao acaso, qual a probabilidade de selecionarmos dois homens?

8 - Em certa cidade, os táxis de uma frota são numerados de 1 a 200. Uma pessoa toma um táxi dessa frota ao acaso. Qual a probabilidade de o número do táxi ser maior que 122?

9 - Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de o primeiro número obtido ser maior que o segundo?

10 - No lançamento simultâneo de duas moedas perfeitas e distinguíveis, qual é a probabilidade de que em uma ocorra “cara” e na outra “coroa”?

GEOMETRIA ANALÍTICA

 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1.Dados os pontos A (2,-3) e B (4,5), determine a distância entre eles.

xa: 2
xb: 4
ya: -3
yb: 5

 2.Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 1). Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea que passa pelos pontos A e B.

Essa trajetória é dada pela equação:

Devemos calcular o determinante entre os pontos P(x,y),  A(2,2)  e  B(4,1):

|  x    y   1  |   x   y

|  2    2   1  |   2   2

| 4     1   1  |   4   1

Fazendo o produto das diagonais principais menos o produto das diagonais secundárias:

2x + 4y + 2 – 8 – x – 2y = 0

x + 2y – 6 = 0

3..Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c , 3), (2 , c) e (14, -3) sejam colineares?

4.  Calcule a distância entre os pontos A(-2,3) e B(1,5).

 Resolução:

 dAB = (−2 −1) ² + (3− 5) ²

 dAB = (−3) ² + (−2) ²

 dAB = 9 + 4

 dAB = 13 

5. (UFRGS) A distancia entre os pontos A( -2,y) e B(6,7) é 10. O valor de y é

Resolução:

 dAB² = (−2 − 6) ² + (y − 7) ²                                      dAB= 10

 (−2 − 6) ² + (y − 7) ² = (10)²

 (−8) ² + (y − 7) ² = 100

 64 + y 2 −14y + 49 = 100

 y ² −14y +13 = 0 

 y = 1

 y = 13