Lista de Números Complexos

LISTA DE EXERCÍCIOS – OPERAÇÕES COM COMPLEXOS

1.  Calcule as seguintes somas:

             a) (2 + 5i) + (3 + 4i)                                                         b) i + (2 - 5i)

2.  Calcule as diferenças:

        a) (2 + 5i) - (3 + 4i)                                                          b) (1 + i) - (1 - i)

3.  Calcule os seguintes produtos:

        a) (2 + 3i) (3 - 2i)                                                             b) (1 + 3i) (1 + i)

4.  Escreva os simétricos dos seguintes números complexos:

        a) 3 + 4i         b) -3 + i                         c) 1 - i                              d)  -2 + 5i

5.  Escreva os conjugados dos seguintes números complexos:

        a) 3 + 4i                                                                                              b) 1 - i

      

6.  Efetue as seguintes divisões de números complexos:

        a)  -10 +15i /2-i                                                      b)   1+3i/ 1+i   

7.  Calcule as potências:

        a)     (1 + i)²                                              b)    (-2 + i)²

8.  Sendo z = (m² - 5m + 6) + (m² - 1).i, determine m de modo que z seja um imaginário puro.

9.  Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)¹² .

10. Calcule o número complexo i¹²⁶ + i^-126 + i³¹ - i¹⁸⁰

11. Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵ , calcule Im(z).w + Im(w).z .
                                                                                   _

12. (UCMG) - O número complexo 2z, tal que 5z +z  = 12 + 6i é:

13. (UCSal) - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real qual deve ser o valor de “a”?

14. (UFBA) - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de a.c + b.

15. (Mackenzie-SP) – Calcule o valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹.

16. Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.

17. (UEFS-93.2) - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), calcule os valores de m e n.
                                                                                                                                                            _
18. A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a (-8 - 6i). Calcule  Z.

19. (FESP/UPE) - Seja z = 1+ i , onde i é a unidade imaginária. Calcule a potência  z⁸.

20. (UCSal) - Sabendo que (1+i)² = 2i, então calcule o valor da expressão y = (1+i)⁴⁸ - (1+i)⁴⁹.

Estatistica

PROJETO DE ESTATÍSTICA

Esse projeto foi elaborado tendo como base o conteúdo programático do 3 ano do ensino profissional, abordando o assunto Estatístico, que consta na segunda unidade da programação.

O Projeta versa sobre as investigações de metodologias para gerenciar os sistemas produtivos  que constituem o foco de concentração da linha de pesquisa em Gestão de Operações e Logística.

Tema: O mercado de trabalho para á área de Logística: Gerenciamento da Produção, Sistemas Inteligentes.

Sub temas: Potencial da logística no Brasil, Logística e Serviço ao cliente, logística e  Suprimentos, Demanda de profissionais qualificados em logística, Logística: Desafios e oportunidades

Objetivo: Desenvolver os conceitos básicos sobre Estatística e sobre a Logística.

Competências: Saber se informar, comunicar-se, argumentar, compreender e agir;

                          Enfrentar problemas de diferentes naturezas;

                          Participar socialmente, de forma prática e solidária;

                          Ser capaz de elaborar críticas ou propostas; e,

                          Especialmente, adquirir uma atitude de permanente aprendizado.

Período: De____.à_____.

I – Pesquisa

·                    Determinar o tamanho da amostra

·                    Instruções aos entrevistadores ou aos observadores

·                    Realização da pesquisa de opinião pública – Aplicação Questionários

·                    Analisar resultados e Diagnosticar.

·                    Definir as estratégias da área:1-  Logística

·                    Detectar situações que possam afetar a área junto à opinião pública

2 - Instrumentos de Coletas de Dados :

3 - Questionário

 O Questionário, numa pesquisa, é um instrumento ou programa de coleta de dados. Se sua confecção é feita pelo pesquisador, seu preenchimento é realizado pelo informante.
 A linguagem utilizada no questionário deve ser simples e direta para que o respondente compreenda com clareza o que está sendo perguntado. Não é recomendado o uso de gírias, a não ser que se faça necessário por necessidade de características de linguagem do grupo (grupo de surfistas, por exemplo)
 Todo questionário a ser enviado deve passar por uma etapa de pré-teste, num universo reduzido, para que se possam corrigir eventuais erros de formulação.

 Conteúdo de um questionário:  Veja os exemplos abaixo , forme o seu questionário
 Itens de Identificação do Respondente
 Para que as respostas possam ter maior significação é interessante não identificar diretamente o respondente com perguntas do tipo NOME, ENDEREÇO, TELEFONE etc., a não ser que haja extrema necessidade, como para selecionar alguns questionários para uma posterior entrevista (trataremos das técnicas de entrevistas posteriormente).

A criação dos itens formulário segue as regras abaixo.

 Itens sobre as questões a serem pesquisadas.

 Formulário de itens sim-não, certo-errado e verdadeiro-falso;

Ex.: Trabalha? ( ) Sim ( ) Não

 Respostas livres, abertas ou curtas;

 Ex.: Bairro onde mora: ______________________________

 Formulário de múltipla escolha;

Ex.: Renda Familiar:
( ) Menos de 1 salário mínimo
( ) 1 a 3 salários mínimos
( ) 4 a 6 salários mínimos
( ) 7 a 11 salários mínimos
( ) Mais de 11 salários mínimos

 Questões mistas.

Ex.: Quem financia seus estudos?
( ) Pai ou mãe
( ) Outro parente
( ) Outra pessoa
( ) O próprio aluno

Outro: _____________________________________

 Entrevista

Observações iniciais:
 É necessário ter um plano para a entrevista para que no momento em que ela esteja sendo realizada as informações necessárias não deixem de ser colhidas.
 As entrevistas podem ter o caráter exploratório ou ser de coleta de informações. Se a de caráter exploratório é relativamente estruturada, a de coleta de informações é altamente estruturada.
 Sugestões de planejamento:
 Quem deve ser entrevistado
Procure selecionar pessoas que realmente têm o conhecimento necessário para satisfazer suas necessidades de informação.
 Plano da entrevista e questões a serem perguntadas
Prepare com antecedência as perguntas a serem feitas ao entrevistado e a ordem em que elas devem acontecer.
 Relatório
 Observação
 Conhecimento prévio do que observar
Antes de iniciar o processo de observação, procure examinar o local.
Determine que tipo de fenômenos merecerão registros.
4-  Relatório
Procure fazer um relatório o mais cedo possível.
5- Análise de Conteúdo
Os documentos como fonte de pesquisa podem ser primárias ou secundárias.
As fontes primárias são os documentos que gerarão análises para posterior criação de informações. Podem ser decretos oficiais, fotografias, cartas, artigos etc.
As fontes secundárias são as obras nas quais as informações já foram elaboradas (livros, apostilas, teses, monografias etc., por exemplo).
Sugestões para análise de documentos:
 Locais de coletas:
 Determine com antecedência que bibliotecas, agências governamentais ou particulares, instituições, indivíduos ou acervos deverão ser procurados.
 Registro de documentos:
 Organização:
 Separe os documentos recolhidos de acordo com os critérios de sua pesquisa.

O trabalho consistirá em várias etapas:

1. Etapa: Planejamento-Distribuição das equipes de trabalho e definição de normas para o bom andamento das atividades, tais como datas e prazos a serem cumpridas, características das pesquisas, atribuições individuais e coletivas.

2.Etapa: Preparação das atividades pelo professor e trabalho com as turmas, repassando os pré-requisitos necessários para a efetivação das atividades

 Inicialmente serão definidos quais são os participantes de cada um dos grupos, ficando o professor responsável apenas, por dividir os alunos de forma relativamente equânime entre eles, já que a escolha sobre a que grupo pertencer caberá a cada estudante.

As equipes deverão apresentar suas pesquisas de forma que, os ouvintes entendam seus objetivos, e conclusões e apresentar para a classe, de forma clara e precisa, para que não deixe dúvidas.

Com a finalidade de motivar sua apresentação, as equipes poderão lançar questões para a classe, fazer dramatização, apresentar vídeos, cartazes, entre outros.

 3 Etapa: Realização da avaliação  final do projeto: Apresentações  com tempo  de 10 minutos para cada equipe. As equipes não deverão ultrapassar o tempo sob pena de perder pontos.

Recursos: vídeo, cartazes, questionário , quadro branco, pincel, folder, máquina fotográfica,

OBSERVAÇÃO: Durante todo o processo de construção do projeto haverá a realização de aulas expositivas sobre Estatística (professor).

USAR A CRIATIVIDADE NAS APRESENTAÇÕES É PRIMORDIAL PARA UM BOM TRABALHO

Números Complexos

LISTA DE EXERCÍCIOS 

1-      Sendo z= (4m-5) + (n-1) i, determine os números reais m e n tal que
  z = 0

2-      Sabendo que z¹ = x² -1 + (4 – y) i   e   z² =  3 – 10i, determine x e y, para que z¹ seja igual a z²

3-      Calcule:

      a)  (6-i) + (4+2i) – (5- 3i);                           b) ( 5 + 2i)²;

4-      Ache o conjugado de Z= (3 +i) – (2+5i)

5-      Achar todos os valores reais de X, de modo que a parte real do número complexo

  z =   x– 1   seja negativa.                                                                                                                     _____

                x + 1                                                                                                                                          

6- Efetue: 5 + i
                ______

                     i

7- Calcule:  a) i²⁸     b) i¹⁴           c) i⁹²        d) i¹⁰⁸¹

     8- coloque na forma  a + bi  o número complexo  i⁴ – 2i² +i⁶ – 3i⁹

                                                                                                          ^{___________________}

                                                                                   i¹⁶ – i ²⁰ + i³⁵

    9- Determinar o módulo e o argumento do complexo z= √3 + i e fazer sua representação geométrica.

10- Passar para a forma trigonométrica o número complexo z= 1 + √3 i

11- Determinar o número complexo z tal que 2z – 1 = z +1

Números complexos parte 3

PLANO DE ARGAND GAUSS

Representação  do nº complexo a+bi no plano cartesiano: No eixo das abscissas representa-se a parte real; No eixo das ordenadas a parte imaginária de Z

OXà eixo real

OYà eixo imaginário

Pà afixo ou imagem geométrica de Z

MÓDULO E ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Aplica O Teorema de Pitágoras :  p² = a² + b² à p=√a² + b²

A distância   p de P até a origem O é chamado MÒDULO de Z e indica-se

                   

  

 |z| = | a + b| = p = √ a² + b²

Denomina-se ARGUMENTO a medida do ângulo Ө, formado por OP com o eixo real OX no sentido anti-horárioà Ө = arg(z).

 Este ângulo Ө deve satisfazer a condição 0 ≤ Ө≤ 2¶

 Logo: cos Ө = a           sen Ө = b

                       ____                          _____

                             p                        p

FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR

cos Ө = a       à a= p. cos Ө  

            ____

              p                                  

 sen Ө = b    à b= p. sen Ө

               ____

                 p 

Substituindo em: Z= a + bi à z= p. cos Ө + p. sen Ө .i à z= p(  cos Ө + i . sen  Ө )

Números Complexos parte 2

CONJUGADO

Dado um número complexo a+bi , chama-se conjugado de Z o número complexo   = a - bi

exemplos : Z= 1 + 2i      =>  = 1 - 2i

  

                  Z= 3i          =>  = - 3i

                  Z= 5           =>   = 5

POTENCIAS DE   i

Seja i a unidade imaginária , Vamos calcular    iⁿ   para alguns valores naturais de n

i ⁰ = 1

i ¹ = i

i ² = – 1
i ³ = i² . i = (–1) . i = –i

i ⁴ = i² . i² = (–1) . (– 1) = 1

i ⁵ = i⁴ . i = 1 . i = i
i ⁶ = i⁵ . i = i . i = i² = –1
i ⁷ = i⁶ . i = (–1) . i = – i
i ⁸ = i⁴ . i⁴ = 1 . 1 = 1
i⁹ = i⁸ . i = 1 . i = i
i¹⁰ =(i²)⁵ = (–1)⁵ = –1

Números Complexos parte 1

Historicamente, uma equação era vista como a formulação matemática de um problema concreto. Quando no processo de resolução aparecia um radicando negativo, os matemáticos simplesmente concluíam o problema não tinha solução prática.

A existência de equações do tipo x²+1=0 preocupava demais os matemáticos do século XV, já que só era utilizados os conjuntos dos nº. reais.

 Como se sabe esta equação não tem solução no campo dos nº. reais, então se criou um nº. cujo quadrado é -1 esse nº. foi representado pela letra i e foi chamado de unidade imaginária e só ganhou impulso com a interpretação geométrico proposta por Gauss em (1777-1855 )

X²+1 = 0 à X² = -1 àX= + - √- 1 à X= + i    e    X = - i

Daí surgiu um novo conjunto de números denominado CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS e indicado pela letra C

FORMA ALGÉBRICA

Z= a + bi, com a e b €  R.  onde  a = parte real

                                                      b= parte imaginária

OBS: Um número é real quando a parte imaginária dele é nula. Z = a + 0i à Z= a

         Um número é imaginário puro quando a parte real é nula. Z = 0 + bià Z=bi

Exercício: Determinar o valor de K para que o nº. complexo Z = (K – 3) + 6i seja imaginário puro.

K-3 = 0  logo  à K = 3

ALGEBRA DOS Nºs COMPLEXOS:

IGUALDADE:

Z¹= a + bi      Z²= c + di à Z¹ = Z²     à a = c

                                                                   b = d

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

(a+ bi) + (c+ di) à (a+c) + ( b+ d)i         (a+bi) – (c+ di)à (a+c) – (c+ d)i

MULTIPLICAÇÃO:

(a + bi) . (c + di) à (ac- bd) + (ad +bc) i

CONJUGADO: à  Z = a + bi       Z= a – bi   à  Só muda o sinal da parte imaginária.

DIVISÃO:

Z¹: Z² à    Z¹.Z²         à    a + bi à a + bi . c – di

                  --------                _____     ____________

                   Z². Z²                c + di      c + di . c – di

Razão e Proporção

LISTA DE EXERCÍCIOS

1)Determinar o valor de x para que a razão x/3 esteja em proporção com 4/6.

2) A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo respectivamente  sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos?

3) O peso de uma sacola em kg está para o peso de uma outra sacola também em kg, assim como 32 está para 28. Quanto pesa cada uma das sacolas, sabendo-se que juntas elas pesam 15kg

4)A diferença dos volumes de dois sólidos é 9cm³ e a sua razão é 2/3. Achar os volumes

5)A razão das áreas de duas figuras é 4/7. Achar essas áreas sabendo que a soma é 66 cm².

6)Se João emagrecesse 10 kg , ele passaria a ter 75% do seu peso atual . Então , seu peso atual é:

7)Um indivíduo ao engordar passou a ter 38% a mais em seu peso . Se tivesse engordado de tal maneira a aumentar seu peso em apenas 15%, estaria pesando 18,4 kg a menos . Qual era seu peso original?

8) Um automóvel com velocidade de 80 km/h demora 3h para percorrer uma certa distância.Quanto o tempo demorará para percorrer a mesma distância um outro auto cuja velocidade é de 120 km/h?

9)A soma de dois números é igual a 46. O primeiro está para o segundo, assim como 87 está para 51. Quais são os números?

10) Quatro números, 72,56,90,e X todos diferentes de zero, formam nesta ordenm uma proporção. Qual o valor da quarta proporcional X?