ANÁLISE COMBINATÓRIA - 3 ANO LOG, ELETRO, ADM (MATUTINO)

1- FATORIAL: Sendo  n um número inteiro, maior que 1(um), define-se fatorial de n  (n!)  a expressão:     n!= n(n-1)  (n -2 ) ...3.2.1  , onde  { n E N e n > 1  }

Definições especiais: 0 !  = 1

                              1 ! =  1

 Exemplos:

 4! = 4.3.2.1 = 24

7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040

2- PRINCIPIO MULTIPLICATIVO : Mostra um método algébrico para determinar o número de possibilidades de ocorrência de um acontecimento sem precisarmos descrever todas as possibilidades.

Exemplo : Os números de telefones de São Paulo têm 7 algarismos. Determinar o número máximo de telefones que podem ser instalados, sabendo-se  que os números não podem começar por  zero.

Resposta:    

                        

                            9      10      10      10      10      10       10     

Com os algarismos ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) temos 9 possibilidades diferentes de escolha para o primeiro algarismo ( o zero não pode ser colocado) do número do telefone e 10  possibilidades para os outros algarismos. Logo pelo princípio multiplicativo temos :

9 . 10 .10 .10 .10 .10 .10  = 9. 000  000

3 – PERMUTAÇÃO :  É  o tipo de agrupamento ordenado em que cada grupo entram todos os elementos .

Exemplo :  Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados, usando os algarismos  2, 4 , 5  ?

1  algarismo                2 algarismo                     3 algarismo     

        

                                                                                                             245

                                                                                                             254

                                                                                                              425

                                                                                                               452

                                                                                                               524                                                                                                               

                                                                                                    

Observe que os números diferem um do outro apenas pela ordem dos elementos.                                        

Podemos resolver pela fórmula de Permutação : Se você tem 3 algarismo 

e que formar números de 3 algarismos você tem uma permutação de 3 :

  P₃   =  3. 2. 1 = 6  

Exemplo 2 : Quantos anagramas têm a  palavra  MITO  ? 

Obs: Qualquer ordenação das letras de uma palavra é denominada Anagrama.

Como a palavra mito tem 4 letras, temos uma permutação de 4 , 

Logo  P₄  = 4 .3 .2 .1 = 24  

COMBINAÇÃO SIMPLES: É  o tipo de agrupamento em que  um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos componentes. 

Cn,p =      _^n!__

             (n – p) ! . p!

 Exemplo: A diretoria de uma empresa é constituída de 7 diretores brasileiros e 4 japoneses. Quantas comissões de 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formadas?

Solução : Considerando os grupos de 3 brasileiros como C_7,3  e os grupos de 3 japoneses como C_4,3 , Assim o total de comissões é:

 C_7,3  .  C_4,3  =   _7!____  .   __4!____ =   __7!____.     __4!____    =  35. 4 = 140

                         (7-3)!.3!         (4-3)!.3!          4!. 3!              1!  . 3 !

Logo , podem ser formadas 140 comissões  

ARRANJOS- É o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.    

   An,p =  __n!___                                                     

                 (n-p)!

 Exemplos: Quantos números de dois algarismos (elementos)   distintos podem ser formados, usando os algarismos 2,3,4 e 5?

Solução :         n= 4 algarismos  : 2, 3 , 4 e 5

                        P= 2 algarismos distintos que se quer formar

                       A_{4,2 =}     _4!__  =  _ _4.3.2.1_ =  __ 24___   =   12 números.

                                    (4-2)!               2 .1                   2