AVISO

ATENÇÃO

A partir  do mês de maio as atividades serão colocadas no

GOOGLE CLASSROOM

Peço que as turmas aguardem o código de sua referida sala que será enviado para o e-mail da turma cadastrado.

Até a próxima atividade! 

MATRIZES ( 2º LOG A VESPERTINO)

Introdução

As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Nos assuntos ligados à álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas.

 matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna).

 matriz de ordem 3 x 2. (3 linhas e 2 colunas)

 matriz de ordem 4 x 2. (4 linhas e 2 colunas)

matriz de ordem 1 x 4. (1 linha e 4 colunas)

Chamemos esta matriz de A, e sua ordem é m x n, ou seja, m linhas e n colunas. Nela podemos observar o elemento a_ij, onde i representa a linha e j a coluna. Tomemos como exemplo o elemento a₃₂ → i = 3 e j = 2. O elemento está localizado na 3ª linha e na 2ª coluna. Ainda podemos chamar esta matriz de A = (a_ij)_{m x n.}  Veja abaixo a representação da matriz:

Linhas( Horizontais)

Colunas( Verticais)

A diagonal principal é formada pelos elementos :a_{11 , a22  , a33 ,}  a_mn

Tipos de Matizes :

1- Matriz quadrada: É a matriz que possui número de linhas igual ao número de colunas. Exemplo:

2- Matriz Nula :É a matriz que possui todos seus elementos iguais a zero. Exemplo:

3- Matriz Linha: É a matriz que possui só uma linha. Exemplo:

4- Matriz Coluna : É a matriz que possui uma só coluna. Exemplo:

5- Matriz Identidade: Os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero. Exemplo:

6- Matriz Inversa: Uma matriz quadrada B é inversa da matriz quadrada A quando a multiplicação das duas matrizes resulta em uma matriz identidade I_n, ou seja, . Exemplo:

7- Matriz Transposta: É obtida com a troca ordenada das linhas e colunas de uma matriz conhecida. Exemplo:

.

8-Matriz simétrica : É obtida com a troca de sinal dos elementos de uma matriz conhecida. Exemplo:

(Dê  os  exemplos dos os tipos de matrizes)

PROBABILIDADE- (3 º ANO LOG, ELETRO, ADM (MATUTINO))

PARTE 1

 Em condições normais podemos prever a que a temperatura o leite ferve. Este tipo de resultado é previsível, recebe o nome de determinístico. Mas, ao lançar uma ou mais vezes, um dado não podemos saber com antecedência o número que se vai obter; sabemos apenas que os possíveis resultados são 1,2,3,4,5,6. Este tipo de experimento, cujo resultado não pode ser previsto, é chamado aleatório.

Exemplos de experimentos aleatórios:

• O sorteio de uma loteria de números
• O lançamento de uma moeda
• A escolha de um número de 1 a 5
• O sorteio do primeiro prêmio da loteria

ESPAÇO AMOSTRAL: É o conjunto U de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. O número de elementos desse conjunto é indicado por n(U).

Exemplos:

O lançamento de um dado: U = { 1,2,3,4,5,6 }    e n(U) = 6

O lançamento de dois dados diferentes: U = { (1,1)   (1,2)  (1,3)  (1,4)  (1,5)  (1,6)   (2,1)  (2,2)   (2,3)  (2,4)  (2,5)  (2,6)  (3,1)  (3,2)  (3,3)  (3,4)  (3,5)  (3,6)  ( 4,1)  (4,2)  (4,3)  (4,4)  (4,5)  (4,6)  (5,1)  (5,2)  (5,3)  (5,4)  (5,5)   (5,6)  (6,1)  (6,2)  (6,3)  (6,4)  (6,5)  (6,6)  }     n(U) = 36 

 U= universo

EVENTO: Qualquer subconjunto do espaço amostral  U é um evento , isto é : No lançamento de um dado, obter um número  primo . O evento neste caso, é obter um número primo. O número de elementos do evento é indicado por n(A) 

U={1,2,3,4,5,6}   n(U) = 6

A={2,3,5}    n(A) = 3             A= evento

Obs: Quando A=U o evento é certo. 

No lançamento de uma moeda o evento é certo pois: A={ cara, coroa}  n(A)=N(U)

Se A=O , o evento é impossível; por exemplo obter 7 no lançamento de um dado ( o dado só tem 6 faces)

Quando, para dois eventos A e A¹   Temos : A e A¹  , AU A¹ = U e A Ո A¹  = Ø esses dois eventos são complementares.

Exemplo: No lançamento de um dado sendo A={2,4,6}  o evento :obter um número par

eA¹ = {1,3,5} o evento obter um número ímpar temos:

A U A¹ = {1,2,3,4,5,6}= U

Gabarito da Atividade de Análise Combinatória ( 3 LOG , ADM, ELETRO) Matutino

1) De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salão, dispondo de 8  jogadores?

a) 56            b) 40         c) 48             d) 32  

  C8,5 = 8!/5! .(8 - 5)!  

       

2) Uma classe com 10 alunos, entre eles Pedro e Carla, será submetido a uma prova oral, em que todos os alunos serão avaliados. De quantas maneiras o professor pode escolher a seqüência de alunos se Pedro deve ser sempre o primeiro a ser chamado e Carla sempre a última a ser chamada?

a) 6!         b) 8!         c) 10!         d) 7!          .

Como Pedro e Carla estão com as posições fixas, dos dez estudantes da classe.    Podemos escolher qualquer um dos 8 estudantes restantes  para ser o segundo a ser chamado. O terceiro pode ser qualquer um dos 7 estudantes restantes, e assim por diante. O número de escolhas é igual a 8! = 40320.

3) Dez enxadristas participam de um campeonato onde todos jogam contra todos. Se um deles vence todas as partidas, quantas são as classificações possíveis para os três primeiros colocados?

a) 72        b) 24            c) 90          d) 840  

  

 O primeiro lugar está ocupado, já que tem um que vence todas as partidas. Então sobram 9 enxadristas e 2 lugares, portanto deverá ser um arranjo de 9,2

A9,2 = 9! / (9-2)!                  

 = 9!/  7!              

 = 9.8.7!/ 7!      

 = 9.8 = 72. 

4) Uma linha ferroviária tem dezesseis estações. Quantos tipos de bilhete devem ser impressos, se cada bilhete deve registrar a estação de origem e a de destino?

a) 120            b) 240                c) 64         d) 360

       

Existe 16 estações e apenas duas indicadas, A partida e Chegada

Então:

 A(16,2)

A(16,2) = 16!/(16 - 2)!

A(16,2) = 16.15.14!/14!

A(17,2) = 16 . 15 = 240 bilhetes

     

5). Quantos anagramas da palavra PERSONA começam pela letra S?

a) 9!                    b)8!                        c) 7!                 d)  6!           

 A letra S fica fixa no início e o restante das letras sofre a permuta

6! = 6.5.4.3.2.1= 720 anagramas

 6)  Para ir da cidade A até cidade C, obrigatoriamente passamos pela cidade B. Três companhias de ônibus cobrem o percurso entre A e B e duas companhias de aviação ligam  B e C. De quantos modos diferentes é possível viajar de A até C ?

a) 12                        b) 6                         c) 4                     d)  8                  

Temos 3 companhias ônibus e 2 companhias de aviação. Logo teremos:

 3X2 = ¨6 modos diferentes de viajar de A até C passando por B

 7- Uma companhia de móveis tem dez desenhos para mesas e quatro desenhos para cadeiras. Quantos pares de desenhos de mesa e cadeira podem a companhia formar?

Então: 10 desenhos para mesas e 4 para cadeira temos:   10X4 = 40 pares de desenhos de mesa e cadeira.

 8- Quantas palavras de 2 letras distintas podem ser formadas com as vogais de nosso alfabeto?

Essa é uma questão de arranjos já que a ordem dos elementos vai importar, porque se refere a palavras.

Então:

A(5,2) = 5!/ (5 – 2)!  → 5! / 3!   → 5. 4.3! / 3! → 5 X 4 = 20 palavras

9- Quantos anagramas da palavra EDITORA começam por A e terminam por E?

Duas vogais fixas A e E   sobram 5; Logo fatorial de 5 → 5!= 120 anagramas

10- Quantos conjuntos de iniciais podem ser formados se todas as pessoas têm um só sobrenome e exatamente dois nomes.?

Existem 26 letras do alfabeto, logo teremos que escolher iniciais para os dois nomes e para o sobrenome

__26___  .  __26____ .   __26____ = 17576 conjuntos

.

 11- Uma prova de atletismo reúne 15 atletas. Quantos são os resultados possíveis para que sejam distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze?

A( 15,3) = 15!/ (15-3)! → 15 .14.13.12!/ 12! 

A= 15 . 14 .13  = 2730 resultados possíveis

Gabarito da atividade de Geometria Plana ( 2 ano log A e B) Vespertino

1- Qual é a área da região retangular cujas medidas são 24 m por 12,5 m?

 A= bxh → A= 24 x 12,5     A = 300 m²

  2- Determine a área de um retângulo, sabendo que este tem 46 cm de perímetro e que o comprimento excede em 7 cm a largura.;

  

  RESPOSTA:

1- Representaremos a largura por x e o comprimento por x+7 pois o comprimento mede 7cm a mais que a largura.   Então a soma dos lados (perímetro) = 46

  2x + 2 (x + 7) =

  2x + 2x + 14 =

  4x + 14 = 46    → 4x = 46 -14 → 4x= 32 → x =8

2 -  substituindo o x:

     Um lado é 8m e o outro x + 7 =  8 + 7 = 15m

3- A  Àrea

A = 15 × 8 = 120 cm²

3- Calcule a área do piso de uma piscina sabendo que o piso (ou fundo) de uma piscina circular tem 10 m de diâmetro (internamente):

Se o diâmetro do piso é igual a 10 m, o Raio é igual a 5 m, então:

A área do piso:  A = ℼ. R^{2   →}   3, 14 x 5² = 78,5 m² 

 4- Um trapézio isóscele tem perímetro de 26cm e sua base maior é igual a 12 e sua base menor é igual a 4. Calcule sua área:

Os dois lados do trapézio vale 5,0

Aplicando o teorema de Pitágoras :  5² = 4² + x²   → x² = 25 – 16 → x² = 9 → x= 3

Área = (B + b) /2 . h 

A= (12 + 4) /2 . 3  → 16/2 .3 = 8x3 = 24 cm² 

5- Calcule a área de um quadrado que possui perímetro igual a 24 cm.

Perímetro = 24 cm   →Lado =  24/4 = 6,0 cm     

A = L²  → 6² =  36 cm²

6- (Saresp) A figura mostra a planta de um terreno, com a indicação de algumas medidas. Qual a área desse terreno?

A= (B + b)

      --------- . h      

          2

  A = ( 34 +  10 ) x 16     = 704 / 2 = 352 m²  

           ------------               

                 2

7-Sabendo que um losango tem 40 cm de perímetro, e   que a medida da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal menor, determine a área desse losango.

O losango tem todos os lado iguais a x. Como são 4 lados:

4x = 40   →      x = 10cm

(1)

x² = (D/2)² + (d/2)²

x² = D²/4 + d²/4

 x² = (D² + d²)/4

Como a diagonal maior (D) é o dobro da menor (d):

(2) D = 2d

Substitui-se (2) em (1):

x² = ((2d)² + d²)/4

4x² = 5d², como x = 10cm

4.100 = 5d²

d² = 4 . 20

d = 4√5 cm

Assim D = 8√5 cm

Como a área de um losângo é:

S = Dd/2

S = 4√5. 8√5 / 2

S = 16. 5

S = 80 cm²

 8-  Qual o comprimento de uma pista circular cujo diâmetro é 80m?

Diâmetro = 80m     Raio = 40m → L=    2ℼ. R → L = 2 x 3,14 x 40 = 251,2 m

9- Qual é a área de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm?

Aplica o teorema de Pitágoras para achar a altura: a² = b² + c²

13² = a² + 5²
169 = a² + 25        A = (5 x 12) / 2 = 60 / 2 = 30 cm²
a² = 169 - 25
a² = 144
a = 12

10-A área de um trapézio é 39 m². A base maior mede 17 cm e a altura mede 3 cm. Qual é a medida da base menor? 

A = (B + b)/2 . h      

39 = (17 +b)/2 . 3   →  39 = 51 + 3b / 2

78 = 51 + 3b →  b = 78 – 51 /3   

 b= 27/3  = 9cm

AVISO 2

“O e-mail  usado para contato , será exclusivamente para retirar dúvidas sobre o assunto e sobre as atividades.”


AS ATIVIDADES NÃO DEVERÃO SER ENVIADAS PARA O E-MAIL, OS ALUNOS DEVERÃO CONFERIR AS RESPOSTAS QUE SERÃO COLOCADAS NESTE BLOG.

AVISO

ATENÇÃO

As atividades postadas para as turmas :

NÃO SERÃO PONTUADAS

 

São atividades normais de aprendizagem,

 as respostas dos exercícios serão postadas  para

AUTOCORREÇÃO aqui no Blog
    

“O e-mail  usado para contato , será exclusivamente para retirar dúvidas sobre o assunto e sobre as atividades.”

EXERCÍCIO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA ( 3 ANO LOG, ELETRO, ADM) MATUTINO

1) De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salão, dispondo de 8  jogadores?

a) 56            b) 40         c) 48             d) 32             e) n.d.a.

2) Uma classe com 10 alunos, entre eles Pedro e Carla, será submetido a uma prova oral, em que todos os alunos serão avaliados. De quantas maneiras o professor pode escolher a seqüência de alunos se Pedro deve ser sempre o primeiro a ser chamado e Carla sempre a última a ser chamada?

a) 6!         b) 8!         c) 10!         d) 7!             e) n.d.a.

3) Dez enxadristas participam de um campeonato onde todos jogam contra todos. Se um deles vence todas as partidas, quantas são as classificações possíveis para os três primeiros colocados?

a) 72        b) 24            c) 90          d) 840              e) n.d.a.

4) Uma linha ferroviária tem dezesseis estações. Quantos tipos de bilhete devem ser impressos, se cada bilhete deve registrar a estação de origem e a de destino?

a) 120            b) 240                c) 64         d) 360             e) n.d.a

5)Quantos anagramas da palavra  PERSONA começam pela letra S?

a) 9!                    b)8!                        c) 7!                 d)  6!           e) n.d.a

6)  Para ir da cidade A até cidade C , obrigatoriamente passamos pela cidade B. Três companhias de ônibus cobrem o percurso entre A e B e duas companhias de aviação ligam  B e C. De quantos modos diferentes é possível viajar de A até C ?

a) 12                        b)  6                         c)  4                     d)  8                  e) n.d.a

7- Uma companhia de móveis tem dez desenhos para mesas e quatro desenhos para cadeiras. Quantos pares de desenhos de mesa e cadeira podem a companhia formar?

8- Quantas palavras de 2 letras distintas podem ser formadas com as vogais de nosso alfabeto?

9- Quantos anagramas da palavra  EDITORA começam por A e terminam por E?

10- Quantos conjuntos de iniciais podem ser formados se todas as pessoas têm um só sobrenome e exatamente dois nomes.?

 11- Uma prova de atletismo reúne 15 atletas. Quantos são os resultados possíveis para que sejam distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze?

EXERCÍCIO DE GEOMETRIA PLANA - 2 LOG A E B (VESPERTINO)

1- Qual é a área da região retangular cujas medidas são 24 m por 12,5 m?


 2- Determine a área de um retângulo, sabendo que este tem 46 cm de perímetro e que o comprimento excede em 7 cm a largura.;

3- Calcule a área do piso de uma piscina sabendo que  o piso (ou fundo) de uma piscina circular tem 10 m de diâmetro (internamente):

 4- Um trapézio isósceles  tem perímetro de 26cm e sua base maior é igual a 12 e sua base menor é igual a 4. Calcule sua área:


5- Calcule a área de um quadrado que possui perímetro igual a 24 cm.

6- (Saresp) A figura mostra a planta de um terreno, com a indicação de algumas medidas. Qual a área desse terreno?

7-Sabendo que um  losango tem 40 cm de perímetro. e que a medida  da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal menor, determine a área desse losango.

8-  Qual o comprimento de uma pista circular cujo diâmetro é 80m?

9- Qual é a área de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm?

10-A área de um trapézio é 39 m². A base maior mede 17 cm e a altura mede 3 cm. Qual é a medida da base menor? 

AVISO IMPORTANTE

ANÁLISE COMBINATÓRIA - 3 ANO LOG, ELETRO, ADM (MATUTINO)

1- FATORIAL: Sendo  n um número inteiro, maior que 1(um), define-se fatorial de n  (n!)  a expressão:     n!= n(n-1)  (n -2 ) ...3.2.1  , onde  { n E N e n > 1  }

Definições especiais: 0 !  = 1

                              1 ! =  1

 Exemplos:

 4! = 4.3.2.1 = 24

7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040

2- PRINCIPIO MULTIPLICATIVO : Mostra um método algébrico para determinar o número de possibilidades de ocorrência de um acontecimento sem precisarmos descrever todas as possibilidades.

Exemplo : Os números de telefones de São Paulo têm 7 algarismos. Determinar o número máximo de telefones que podem ser instalados, sabendo-se  que os números não podem começar por  zero.

Resposta:    

                        

                            9      10      10      10      10      10       10     

Com os algarismos ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) temos 9 possibilidades diferentes de escolha para o primeiro algarismo ( o zero não pode ser colocado) do número do telefone e 10  possibilidades para os outros algarismos. Logo pelo princípio multiplicativo temos :

9 . 10 .10 .10 .10 .10 .10  = 9. 000  000

3 – PERMUTAÇÃO :  É  o tipo de agrupamento ordenado em que cada grupo entram todos os elementos .

Exemplo :  Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados, usando os algarismos  2, 4 , 5  ?

1  algarismo                2 algarismo                     3 algarismo     

        

                                                                                                             245

                                                                                                             254

                                                                                                              425

                                                                                                               452

                                                                                                               524                                                                                                               

                                                                                                    

Observe que os números diferem um do outro apenas pela ordem dos elementos.                                        

Podemos resolver pela fórmula de Permutação : Se você tem 3 algarismo 

e que formar números de 3 algarismos você tem uma permutação de 3 :

  P₃   =  3. 2. 1 = 6  

Exemplo 2 : Quantos anagramas têm a  palavra  MITO  ? 

Obs: Qualquer ordenação das letras de uma palavra é denominada Anagrama.

Como a palavra mito tem 4 letras, temos uma permutação de 4 , 

Logo  P₄  = 4 .3 .2 .1 = 24  

COMBINAÇÃO SIMPLES: É  o tipo de agrupamento em que  um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos componentes. 

Cn,p =      _^n!__

             (n – p) ! . p!

 Exemplo: A diretoria de uma empresa é constituída de 7 diretores brasileiros e 4 japoneses. Quantas comissões de 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formadas?

Solução : Considerando os grupos de 3 brasileiros como C_7,3  e os grupos de 3 japoneses como C_4,3 , Assim o total de comissões é:

 C_7,3  .  C_4,3  =   _7!____  .   __4!____ =   __7!____.     __4!____    =  35. 4 = 140

                         (7-3)!.3!         (4-3)!.3!          4!. 3!              1!  . 3 !

Logo , podem ser formadas 140 comissões  

ARRANJOS- É o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.    

   An,p =  __n!___                                                     

                 (n-p)!

 Exemplos: Quantos números de dois algarismos (elementos)   distintos podem ser formados, usando os algarismos 2,3,4 e 5?

Solução :         n= 4 algarismos  : 2, 3 , 4 e 5

                        P= 2 algarismos distintos que se quer formar

                       A_{4,2 =}     _4!__  =  _ _4.3.2.1_ =  __ 24___   =   12 números.

                                    (4-2)!               2 .1                   2                        

GEOMETRIA PLANA- 2 LOG A e B (VESPERTINO)

GEOMETRIA PLANA

A Geometria plana é também chamada de Geometria Euclidiana, em homenagem a Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.), grande matemático educado na cidade de Atenas e frequentador da escola fundamentada nos princípios de Platão. Considerado o “PAI DA GEOMETRIA”.

Quais os princípios da Geometria Plana: Os princípios que levaram à elaboração da Geometria Euclidiana eram baseados nos estudos do ponto, da reta e do plano. O que é ponto, reta e plano?

Ponto: Não tem uma definição concreta, pode se dizer que é o simples tocar do lápis no papel ou que surge do cruzamento de duas linhas. Representa-se por letras maiúscula do alfabeto. Ex :                               +A     .B

Reta: Definida como uma sequência continua e infinita de pontos. Pode ser horizontal, vertical e inclinada.

 

Dentro da reta você. Estuda o segmento de reta e a Semi reta

Segmento de reta: Linha que tem início e fim é delimitada por 2 pontos: A|---------------|B. 

Semi reta é a linha que tem uma origem e não tem fim:  A |---------------------> 

Plano: Conjunto de infinitos pontos, ou definido através da disposição de retas. É no plano que se forma as figuras geométricas.       

Ângulo: são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, chamado de vértice do ângulo. São classificados em:

·         ângulo reto (Â = 90º)

·         ângulo agudo (0º < Â < 90º)

·         ângulo obtuso (90º < Â < 180º)

Figuras da Geometria Plana

São os polígonos, que Poli significa vários e Gonos significa ângulos, então figura que possui vários ângulos.

1- Triângulo: O menor polígono, é uma figura plana fechada) de três lados, e 3 ângulos.

Quanto aos lados os triângulos, eles são classificados em:

        triângulo equilátero: possui todos os lados e ângulos internos iguais (60°);

          triângulo isósceles: possui dois lados e dois ângulos internos congruentes( iguais);

    triângulo escaleno: possui todos os lados e ângulos internos diferentes.

Quanto aos ângulos que formam os triângulos, eles são classificados em:

         Triângulo retângulo : possui um ângulo interno de 90°( ângulo reto)

         Triângulo obtusângulo: possui dois ângulos agudos internos, ou seja, menor que 90°, e um ângulo obtuso interno, maior que 90°;

  Triângulo acutângulo: possui três ângulos internos menores que 90° (agudos)

2- Quadrado:  quatro lados iguais, o quadrado ou quadrilátero é uma figura geométrica plana que possuem os quatro ângulos congruentes: retos (90°).

3- Retângulo: Figura geométrica plana marcada por dois lados paralelos no sentido vertical e os

outros dois paralelos, no horizontal. Assim, todos os lados do retângulo formam ângulos reto (90°).

                                           

4- Circulo: Figura geométrica plana caracterizada pelo conjunto de todos os pontos de um plano. O raio (r) do círculo corresponde a medida da distância entre o centro da figura até sua extremidade.

  Circunferência é a linha que circunda o círculo 

          

                    

5-Trapézio: Chamado de quadrilátero notável, pois a soma dos seus ângulos internos corresponde a 360º, o trapézio é uma figura geométrica plana.

Ele possui dois lados e bases paralelas, donde uma é maior e outra menor. São classificados em:

·         Trapézio retângulo: possui dois ângulos de 90º;

·         Trapézio isósceles ou simétrico: os lados não paralelos possuem a mesma medida;

·         Trapézio escaleno: todos os lados de medidas diferentes. 

6- Losango: Quadrilátero equilátero, ou seja, formado por quatro lados iguais, o losango, junto com o quadrado e o retângulo, é considerado um paralelogramo. Ou seja, é um polígono de quatro lados os quais possuem lados e ângulos opostos congruentes e paralelos.