Lista de exercicios Fatorial e Principio Multiplicativo

 

 

1-Calcule:     a)    6! + 3!  - 2             b)     4!  . 3! – 0!            c)    7! -5!  +3!

 

                              4 !                                      5! .2 !                         3!+ 6!   

 

 

2-Quantos são os números de 4 algarismos formados somente por algarismos ímpares?

 

3- Sabendo que um salão tem 8 portas, determine o número de maneiras distintas de entrar nele e sair dele sem usar a mesma porta.

 

4- Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados, usando os algarismos 1,2,3,4 e 5 ?

 

5- Uma companhia de móveis tem dez desenhos para mesas e quatro desenhos para cadeiras. Quantos pares de desenhos de mesa e cadeira podem a companhia formar?

 

6 – Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição.

 

7- Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapato. De quantas formas ele poderá vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos?

AVISO

ATENÇÃO

A partir  do mês de maio as atividades serão colocadas no

GOOGLE CLASSROOM

Peço que as turmas aguardem o código de sua referida sala que será enviado para o e-mail da turma cadastrado.

Até a próxima atividade! 

MATRIZES ( 2º LOG A VESPERTINO)

Introdução

As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Nos assuntos ligados à álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas.

 matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna).

 matriz de ordem 3 x 2. (3 linhas e 2 colunas)

 matriz de ordem 4 x 2. (4 linhas e 2 colunas)

matriz de ordem 1 x 4. (1 linha e 4 colunas)

Chamemos esta matriz de A, e sua ordem é m x n, ou seja, m linhas e n colunas. Nela podemos observar o elemento a_ij, onde i representa a linha e j a coluna. Tomemos como exemplo o elemento a₃₂ → i = 3 e j = 2. O elemento está localizado na 3ª linha e na 2ª coluna. Ainda podemos chamar esta matriz de A = (a_ij)_{m x n.}  Veja abaixo a representação da matriz:

Linhas( Horizontais)

Colunas( Verticais)

A diagonal principal é formada pelos elementos :a_{11 , a22  , a33 ,}  a_mn

Tipos de Matizes :

1- Matriz quadrada: É a matriz que possui número de linhas igual ao número de colunas. Exemplo:

2- Matriz Nula :É a matriz que possui todos seus elementos iguais a zero. Exemplo:

3- Matriz Linha: É a matriz que possui só uma linha. Exemplo:

4- Matriz Coluna : É a matriz que possui uma só coluna. Exemplo:

5- Matriz Identidade: Os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero. Exemplo:

6- Matriz Inversa: Uma matriz quadrada B é inversa da matriz quadrada A quando a multiplicação das duas matrizes resulta em uma matriz identidade I_n, ou seja, . Exemplo:

7- Matriz Transposta: É obtida com a troca ordenada das linhas e colunas de uma matriz conhecida. Exemplo:

.

8-Matriz simétrica : É obtida com a troca de sinal dos elementos de uma matriz conhecida. Exemplo:

(Dê  os  exemplos dos os tipos de matrizes)

PROBABILIDADE- (3 º ANO LOG, ELETRO, ADM (MATUTINO))

PARTE 1

 Em condições normais podemos prever a que a temperatura o leite ferve. Este tipo de resultado é previsível, recebe o nome de determinístico. Mas, ao lançar uma ou mais vezes, um dado não podemos saber com antecedência o número que se vai obter; sabemos apenas que os possíveis resultados são 1,2,3,4,5,6. Este tipo de experimento, cujo resultado não pode ser previsto, é chamado aleatório.

Exemplos de experimentos aleatórios:

• O sorteio de uma loteria de números
• O lançamento de uma moeda
• A escolha de um número de 1 a 5
• O sorteio do primeiro prêmio da loteria

ESPAÇO AMOSTRAL: É o conjunto U de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. O número de elementos desse conjunto é indicado por n(U).

Exemplos:

O lançamento de um dado: U = { 1,2,3,4,5,6 }    e n(U) = 6

O lançamento de dois dados diferentes: U = { (1,1)   (1,2)  (1,3)  (1,4)  (1,5)  (1,6)   (2,1)  (2,2)   (2,3)  (2,4)  (2,5)  (2,6)  (3,1)  (3,2)  (3,3)  (3,4)  (3,5)  (3,6)  ( 4,1)  (4,2)  (4,3)  (4,4)  (4,5)  (4,6)  (5,1)  (5,2)  (5,3)  (5,4)  (5,5)   (5,6)  (6,1)  (6,2)  (6,3)  (6,4)  (6,5)  (6,6)  }     n(U) = 36 

 U= universo

EVENTO: Qualquer subconjunto do espaço amostral  U é um evento , isto é : No lançamento de um dado, obter um número  primo . O evento neste caso, é obter um número primo. O número de elementos do evento é indicado por n(A) 

U={1,2,3,4,5,6}   n(U) = 6

A={2,3,5}    n(A) = 3             A= evento

Obs: Quando A=U o evento é certo. 

No lançamento de uma moeda o evento é certo pois: A={ cara, coroa}  n(A)=N(U)

Se A=O , o evento é impossível; por exemplo obter 7 no lançamento de um dado ( o dado só tem 6 faces)

Quando, para dois eventos A e A¹   Temos : A e A¹  , AU A¹ = U e A Ո A¹  = Ø esses dois eventos são complementares.

Exemplo: No lançamento de um dado sendo A={2,4,6}  o evento :obter um número par

eA¹ = {1,3,5} o evento obter um número ímpar temos:

A U A¹ = {1,2,3,4,5,6}= U

Gabarito da Atividade de Análise Combinatória ( 3 LOG , ADM, ELETRO) Matutino

1) De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salão, dispondo de 8  jogadores?

a) 56            b) 40         c) 48             d) 32  

  C8,5 = 8!/5! .(8 - 5)!  

       

2) Uma classe com 10 alunos, entre eles Pedro e Carla, será submetido a uma prova oral, em que todos os alunos serão avaliados. De quantas maneiras o professor pode escolher a seqüência de alunos se Pedro deve ser sempre o primeiro a ser chamado e Carla sempre a última a ser chamada?

a) 6!         b) 8!         c) 10!         d) 7!          .

Como Pedro e Carla estão com as posições fixas, dos dez estudantes da classe.    Podemos escolher qualquer um dos 8 estudantes restantes  para ser o segundo a ser chamado. O terceiro pode ser qualquer um dos 7 estudantes restantes, e assim por diante. O número de escolhas é igual a 8! = 40320.

3) Dez enxadristas participam de um campeonato onde todos jogam contra todos. Se um deles vence todas as partidas, quantas são as classificações possíveis para os três primeiros colocados?

a) 72        b) 24            c) 90          d) 840  

  

 O primeiro lugar está ocupado, já que tem um que vence todas as partidas. Então sobram 9 enxadristas e 2 lugares, portanto deverá ser um arranjo de 9,2

A9,2 = 9! / (9-2)!                  

 = 9!/  7!              

 = 9.8.7!/ 7!      

 = 9.8 = 72. 

4) Uma linha ferroviária tem dezesseis estações. Quantos tipos de bilhete devem ser impressos, se cada bilhete deve registrar a estação de origem e a de destino?

a) 120            b) 240                c) 64         d) 360

       

Existe 16 estações e apenas duas indicadas, A partida e Chegada

Então:

 A(16,2)

A(16,2) = 16!/(16 - 2)!

A(16,2) = 16.15.14!/14!

A(17,2) = 16 . 15 = 240 bilhetes

     

5). Quantos anagramas da palavra PERSONA começam pela letra S?

a) 9!                    b)8!                        c) 7!                 d)  6!           

 A letra S fica fixa no início e o restante das letras sofre a permuta

6! = 6.5.4.3.2.1= 720 anagramas

 6)  Para ir da cidade A até cidade C, obrigatoriamente passamos pela cidade B. Três companhias de ônibus cobrem o percurso entre A e B e duas companhias de aviação ligam  B e C. De quantos modos diferentes é possível viajar de A até C ?

a) 12                        b) 6                         c) 4                     d)  8                  

Temos 3 companhias ônibus e 2 companhias de aviação. Logo teremos:

 3X2 = ¨6 modos diferentes de viajar de A até C passando por B

 7- Uma companhia de móveis tem dez desenhos para mesas e quatro desenhos para cadeiras. Quantos pares de desenhos de mesa e cadeira podem a companhia formar?

Então: 10 desenhos para mesas e 4 para cadeira temos:   10X4 = 40 pares de desenhos de mesa e cadeira.

 8- Quantas palavras de 2 letras distintas podem ser formadas com as vogais de nosso alfabeto?

Essa é uma questão de arranjos já que a ordem dos elementos vai importar, porque se refere a palavras.

Então:

A(5,2) = 5!/ (5 – 2)!  → 5! / 3!   → 5. 4.3! / 3! → 5 X 4 = 20 palavras

9- Quantos anagramas da palavra EDITORA começam por A e terminam por E?

Duas vogais fixas A e E   sobram 5; Logo fatorial de 5 → 5!= 120 anagramas

10- Quantos conjuntos de iniciais podem ser formados se todas as pessoas têm um só sobrenome e exatamente dois nomes.?

Existem 26 letras do alfabeto, logo teremos que escolher iniciais para os dois nomes e para o sobrenome

__26___  .  __26____ .   __26____ = 17576 conjuntos

.

 11- Uma prova de atletismo reúne 15 atletas. Quantos são os resultados possíveis para que sejam distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze?

A( 15,3) = 15!/ (15-3)! → 15 .14.13.12!/ 12! 

A= 15 . 14 .13  = 2730 resultados possíveis

Gabarito da atividade de Geometria Plana ( 2 ano log A e B) Vespertino

1- Qual é a área da região retangular cujas medidas são 24 m por 12,5 m?

 A= bxh → A= 24 x 12,5     A = 300 m²

  2- Determine a área de um retângulo, sabendo que este tem 46 cm de perímetro e que o comprimento excede em 7 cm a largura.;

  

  RESPOSTA:

1- Representaremos a largura por x e o comprimento por x+7 pois o comprimento mede 7cm a mais que a largura.   Então a soma dos lados (perímetro) = 46

  2x + 2 (x + 7) =

  2x + 2x + 14 =

  4x + 14 = 46    → 4x = 46 -14 → 4x= 32 → x =8

2 -  substituindo o x:

     Um lado é 8m e o outro x + 7 =  8 + 7 = 15m

3- A  Àrea

A = 15 × 8 = 120 cm²

3- Calcule a área do piso de uma piscina sabendo que o piso (ou fundo) de uma piscina circular tem 10 m de diâmetro (internamente):

Se o diâmetro do piso é igual a 10 m, o Raio é igual a 5 m, então:

A área do piso:  A = ℼ. R^{2   →}   3, 14 x 5² = 78,5 m² 

 4- Um trapézio isóscele tem perímetro de 26cm e sua base maior é igual a 12 e sua base menor é igual a 4. Calcule sua área:

Os dois lados do trapézio vale 5,0

Aplicando o teorema de Pitágoras :  5² = 4² + x²   → x² = 25 – 16 → x² = 9 → x= 3

Área = (B + b) /2 . h 

A= (12 + 4) /2 . 3  → 16/2 .3 = 8x3 = 24 cm² 

5- Calcule a área de um quadrado que possui perímetro igual a 24 cm.

Perímetro = 24 cm   →Lado =  24/4 = 6,0 cm     

A = L²  → 6² =  36 cm²

6- (Saresp) A figura mostra a planta de um terreno, com a indicação de algumas medidas. Qual a área desse terreno?

A= (B + b)

      --------- . h      

          2

  A = ( 34 +  10 ) x 16     = 704 / 2 = 352 m²  

           ------------               

                 2

7-Sabendo que um losango tem 40 cm de perímetro, e   que a medida da diagonal maior é o dobro da medida da diagonal menor, determine a área desse losango.

O losango tem todos os lado iguais a x. Como são 4 lados:

4x = 40   →      x = 10cm

(1)

x² = (D/2)² + (d/2)²

x² = D²/4 + d²/4

 x² = (D² + d²)/4

Como a diagonal maior (D) é o dobro da menor (d):

(2) D = 2d

Substitui-se (2) em (1):

x² = ((2d)² + d²)/4

4x² = 5d², como x = 10cm

4.100 = 5d²

d² = 4 . 20

d = 4√5 cm

Assim D = 8√5 cm

Como a área de um losângo é:

S = Dd/2

S = 4√5. 8√5 / 2

S = 16. 5

S = 80 cm²

 8-  Qual o comprimento de uma pista circular cujo diâmetro é 80m?

Diâmetro = 80m     Raio = 40m → L=    2ℼ. R → L = 2 x 3,14 x 40 = 251,2 m

9- Qual é a área de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm?

Aplica o teorema de Pitágoras para achar a altura: a² = b² + c²

13² = a² + 5²
169 = a² + 25        A = (5 x 12) / 2 = 60 / 2 = 30 cm²
a² = 169 - 25
a² = 144
a = 12

10-A área de um trapézio é 39 m². A base maior mede 17 cm e a altura mede 3 cm. Qual é a medida da base menor? 

A = (B + b)/2 . h      

39 = (17 +b)/2 . 3   →  39 = 51 + 3b / 2

78 = 51 + 3b →  b = 78 – 51 /3   

 b= 27/3  = 9cm

AVISO 2

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