Números Complexos

LISTA DE EXERCÍCIOS 

1-      Sendo z= (4m-5) + (n-1) i, determine os números reais m e n tal que
  z = 0

2-      Sabendo que z¹ = x² -1 + (4 – y) i   e   z² =  3 – 10i, determine x e y, para que z¹ seja igual a z²

3-      Calcule:

      a)  (6-i) + (4+2i) – (5- 3i);                           b) ( 5 + 2i)²;

4-      Ache o conjugado de Z= (3 +i) – (2+5i)

5-      Achar todos os valores reais de X, de modo que a parte real do número complexo

  z =   x– 1   seja negativa.                                                                                                                     _____

                x + 1                                                                                                                                          

6- Efetue: 5 + i
                ______

                     i

7- Calcule:  a) i²⁸     b) i¹⁴           c) i⁹²        d) i¹⁰⁸¹

     8- coloque na forma  a + bi  o número complexo  i⁴ – 2i² +i⁶ – 3i⁹

                                                                                                          ^{___________________}

                                                                                   i¹⁶ – i ²⁰ + i³⁵

    9- Determinar o módulo e o argumento do complexo z= √3 + i e fazer sua representação geométrica.

10- Passar para a forma trigonométrica o número complexo z= 1 + √3 i

11- Determinar o número complexo z tal que 2z – 1 = z +1

Números complexos parte 3

PLANO DE ARGAND GAUSS

Representação  do nº complexo a+bi no plano cartesiano: No eixo das abscissas representa-se a parte real; No eixo das ordenadas a parte imaginária de Z

OXà eixo real

OYà eixo imaginário

Pà afixo ou imagem geométrica de Z

MÓDULO E ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Aplica O Teorema de Pitágoras :  p² = a² + b² à p=√a² + b²

A distância   p de P até a origem O é chamado MÒDULO de Z e indica-se

                   

  

 |z| = | a + b| = p = √ a² + b²

Denomina-se ARGUMENTO a medida do ângulo Ө, formado por OP com o eixo real OX no sentido anti-horárioà Ө = arg(z).

 Este ângulo Ө deve satisfazer a condição 0 ≤ Ө≤ 2¶

 Logo: cos Ө = a           sen Ө = b

                       ____                          _____

                             p                        p

FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR

cos Ө = a       à a= p. cos Ө  

            ____

              p                                  

 sen Ө = b    à b= p. sen Ө

               ____

                 p 

Substituindo em: Z= a + bi à z= p. cos Ө + p. sen Ө .i à z= p(  cos Ө + i . sen  Ө )

Números Complexos parte 2

CONJUGADO

Dado um número complexo a+bi , chama-se conjugado de Z o número complexo   = a - bi

exemplos : Z= 1 + 2i      =>  = 1 - 2i

  

                  Z= 3i          =>  = - 3i

                  Z= 5           =>   = 5

POTENCIAS DE   i

Seja i a unidade imaginária , Vamos calcular    iⁿ   para alguns valores naturais de n

i ⁰ = 1

i ¹ = i

i ² = – 1
i ³ = i² . i = (–1) . i = –i

i ⁴ = i² . i² = (–1) . (– 1) = 1

i ⁵ = i⁴ . i = 1 . i = i
i ⁶ = i⁵ . i = i . i = i² = –1
i ⁷ = i⁶ . i = (–1) . i = – i
i ⁸ = i⁴ . i⁴ = 1 . 1 = 1
i⁹ = i⁸ . i = 1 . i = i
i¹⁰ =(i²)⁵ = (–1)⁵ = –1

Números Complexos parte 1

Historicamente, uma equação era vista como a formulação matemática de um problema concreto. Quando no processo de resolução aparecia um radicando negativo, os matemáticos simplesmente concluíam o problema não tinha solução prática.

A existência de equações do tipo x²+1=0 preocupava demais os matemáticos do século XV, já que só era utilizados os conjuntos dos nº. reais.

 Como se sabe esta equação não tem solução no campo dos nº. reais, então se criou um nº. cujo quadrado é -1 esse nº. foi representado pela letra i e foi chamado de unidade imaginária e só ganhou impulso com a interpretação geométrico proposta por Gauss em (1777-1855 )

X²+1 = 0 à X² = -1 àX= + - √- 1 à X= + i    e    X = - i

Daí surgiu um novo conjunto de números denominado CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS e indicado pela letra C

FORMA ALGÉBRICA

Z= a + bi, com a e b €  R.  onde  a = parte real

                                                      b= parte imaginária

OBS: Um número é real quando a parte imaginária dele é nula. Z = a + 0i à Z= a

         Um número é imaginário puro quando a parte real é nula. Z = 0 + bià Z=bi

Exercício: Determinar o valor de K para que o nº. complexo Z = (K – 3) + 6i seja imaginário puro.

K-3 = 0  logo  à K = 3

ALGEBRA DOS Nºs COMPLEXOS:

IGUALDADE:

Z¹= a + bi      Z²= c + di à Z¹ = Z²     à a = c

                                                                   b = d

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

(a+ bi) + (c+ di) à (a+c) + ( b+ d)i         (a+bi) – (c+ di)à (a+c) – (c+ d)i

MULTIPLICAÇÃO:

(a + bi) . (c + di) à (ac- bd) + (ad +bc) i

CONJUGADO: à  Z = a + bi       Z= a – bi   à  Só muda o sinal da parte imaginária.

DIVISÃO:

Z¹: Z² à    Z¹.Z²         à    a + bi à a + bi . c – di

                  --------                _____     ____________

                   Z². Z²                c + di      c + di . c – di

Razão e Proporção

LISTA DE EXERCÍCIOS

1)Determinar o valor de x para que a razão x/3 esteja em proporção com 4/6.

2) A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo respectivamente  sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos?

3) O peso de uma sacola em kg está para o peso de uma outra sacola também em kg, assim como 32 está para 28. Quanto pesa cada uma das sacolas, sabendo-se que juntas elas pesam 15kg

4)A diferença dos volumes de dois sólidos é 9cm³ e a sua razão é 2/3. Achar os volumes

5)A razão das áreas de duas figuras é 4/7. Achar essas áreas sabendo que a soma é 66 cm².

6)Se João emagrecesse 10 kg , ele passaria a ter 75% do seu peso atual . Então , seu peso atual é:

7)Um indivíduo ao engordar passou a ter 38% a mais em seu peso . Se tivesse engordado de tal maneira a aumentar seu peso em apenas 15%, estaria pesando 18,4 kg a menos . Qual era seu peso original?

8) Um automóvel com velocidade de 80 km/h demora 3h para percorrer uma certa distância.Quanto o tempo demorará para percorrer a mesma distância um outro auto cuja velocidade é de 120 km/h?

9)A soma de dois números é igual a 46. O primeiro está para o segundo, assim como 87 está para 51. Quais são os números?

10) Quatro números, 72,56,90,e X todos diferentes de zero, formam nesta ordenm uma proporção. Qual o valor da quarta proporcional X?