GEOMETRIA PLANA- 2 LOG A e B (VESPERTINO)

GEOMETRIA PLANA

A Geometria plana é também chamada de Geometria Euclidiana, em homenagem a Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.), grande matemático educado na cidade de Atenas e frequentador da escola fundamentada nos princípios de Platão. Considerado o “PAI DA GEOMETRIA”.

Quais os princípios da Geometria Plana: Os princípios que levaram à elaboração da Geometria Euclidiana eram baseados nos estudos do ponto, da reta e do plano. O que é ponto, reta e plano?

Ponto: Não tem uma definição concreta, pode se dizer que é o simples tocar do lápis no papel ou que surge do cruzamento de duas linhas. Representa-se por letras maiúscula do alfabeto. Ex :                               +A     .B

Reta: Definida como uma sequência continua e infinita de pontos. Pode ser horizontal, vertical e inclinada.

 

Dentro da reta você. Estuda o segmento de reta e a Semi reta

Segmento de reta: Linha que tem início e fim é delimitada por 2 pontos: A|---------------|B. 

Semi reta é a linha que tem uma origem e não tem fim:  A |---------------------> 

Plano: Conjunto de infinitos pontos, ou definido através da disposição de retas. É no plano que se forma as figuras geométricas.       

Ângulo: são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, chamado de vértice do ângulo. São classificados em:

·         ângulo reto (Â = 90º)

·         ângulo agudo (0º < Â < 90º)

·         ângulo obtuso (90º < Â < 180º)

Figuras da Geometria Plana

São os polígonos, que Poli significa vários e Gonos significa ângulos, então figura que possui vários ângulos.

1- Triângulo: O menor polígono, é uma figura plana fechada) de três lados, e 3 ângulos.

Quanto aos lados os triângulos, eles são classificados em:

        triângulo equilátero: possui todos os lados e ângulos internos iguais (60°);

          triângulo isósceles: possui dois lados e dois ângulos internos congruentes( iguais);

    triângulo escaleno: possui todos os lados e ângulos internos diferentes.

Quanto aos ângulos que formam os triângulos, eles são classificados em:

         Triângulo retângulo : possui um ângulo interno de 90°( ângulo reto)

         Triângulo obtusângulo: possui dois ângulos agudos internos, ou seja, menor que 90°, e um ângulo obtuso interno, maior que 90°;

  Triângulo acutângulo: possui três ângulos internos menores que 90° (agudos)

2- Quadrado:  quatro lados iguais, o quadrado ou quadrilátero é uma figura geométrica plana que possuem os quatro ângulos congruentes: retos (90°).

3- Retângulo: Figura geométrica plana marcada por dois lados paralelos no sentido vertical e os

outros dois paralelos, no horizontal. Assim, todos os lados do retângulo formam ângulos reto (90°).

                                           

4- Circulo: Figura geométrica plana caracterizada pelo conjunto de todos os pontos de um plano. O raio (r) do círculo corresponde a medida da distância entre o centro da figura até sua extremidade.

  Circunferência é a linha que circunda o círculo 

          

                    

5-Trapézio: Chamado de quadrilátero notável, pois a soma dos seus ângulos internos corresponde a 360º, o trapézio é uma figura geométrica plana.

Ele possui dois lados e bases paralelas, donde uma é maior e outra menor. São classificados em:

·         Trapézio retângulo: possui dois ângulos de 90º;

·         Trapézio isósceles ou simétrico: os lados não paralelos possuem a mesma medida;

·         Trapézio escaleno: todos os lados de medidas diferentes. 

6- Losango: Quadrilátero equilátero, ou seja, formado por quatro lados iguais, o losango, junto com o quadrado e o retângulo, é considerado um paralelogramo. Ou seja, é um polígono de quatro lados os quais possuem lados e ângulos opostos congruentes e paralelos.

EXERCICIO DE CONJUNTOS REVISÃO - 4 ano LOG A (VESPERTINO)

1- Escreva o conjunto expresso pela propriedade:

a)                  X é um número natural par

b)                  X é um número natural múltiplo de 5 e menor que 31

c)                  X é um quadrilátero que possui 4 ângulos retos

2-Classifique como conjunto  vazio ou unitário  considerando o universo dos números naturais:

a)                  A= {x/x é menor do que 1}

b)                  B= { x/x é par maior do que 3 e menor do que 5}

3- Dados os conjuntos A= {1,2};  B= { 1,2,3,4,5}  C={ 3,4,5}  D={0,1,2,3,4,5}, classifique em verdadeiro ou falso

a)                  A ⸦ B            b) C ⸦ A        c) B ⸦ D   d) D ⸦ B       e)  Ø ⸦ B         f) Ø Ȼ A

4- Dado os seguintes conjuntos : A= { a,b,c,d,e,f,g}  B={ b,d,g,h,i} e C = { e,f,m,n} determine

a)                  A – B                   b) B – C              c)   B -  A  

5- Classifique em verdadeiro (V) ou falsa( F) 

a)                   Todo número natural representa a quantidade de elementos de algum conjunto finito.

b)                  Existe um natural que é maior do que todos os demais

c)                  Todo número natural tem sucessor em N

d)                  Todo número natural tem antecessor em N

REVISÃO PARTE 2 - 4 ano LOG A (VESPERTINO)

                                                       CONJUNTOS

REUNIÃO OU UNIÃO

Consideremos os dois conjuntos:

A = {b, l, o, g, i, e} e B = {b, v, i, l, c, h, e}

Podemos pensar num novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão esse novo conjunto é:

C = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

Repare que o conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, onde os elementos repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A U B. Com esta notação tem-se:

A U B = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

Esse exemplo sugere-nos a seguinte definição geral para a reunião de conjuntos

.

Definição 1. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:   

Exemplos:

• {1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}
• {n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}

A definição 1 nos diz que um elemento x pertencer a A U B é equivalente a dizer que uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato decorre que:

Propriedades da União

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:

1. Idempotência: A U A = A -> A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A;
2. Comutativa: A U B = B U A;
3. Elemento Neutro: Ø U A = A U Ø = A -> O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos;
4. Associativa: (A U B) U C = A U (B U C).

INTERSECÇÃO

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral.

Definição 2. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:

Exemplos:

Da definição de intersecção resulta que:

Os fatos acima nos diz que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:

Propriedades da Intersecção:

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:

1. Idempotência: 

2. Comutativa: 

3. Elemento Neutro – O conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos:

4. Associativa:

DIFERENÇA: Chama-se A – B  o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B:

A – B = { x/x Є A e x ∉ B}

Exemplo: A= { 1,3,5,7} e B= { 1,3}, então A – B = { 5,7} e B- A = Ø

COMPLEMENTAR: Dados os conjuntos A e B, em que A Ϲ B, chama-se de complementar de A em B (C ^A_B ) o conjunto formado pelos elementos que pertencem a B e não pertencem a A.

Exemplo: A={ 1,2,3} e B = { 1,2,3,4,5}, então  (C ^A_B ) = B – A = { 4,5}

REVISÃO PARTE 1 - 4 ano LOG A (VESPERTINO)

                            

CONJUNTOS NUMÉRICOS

I) Números Naturais

 N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }

II) Números Inteiros

 Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z

III) Números Racionais

 - São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.

Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }

Assim como exemplo podemos citar o –1/2 , 1 , 2,5 ,...

 -Números decimais exatos são racionais

 Pois  0,1 = 1/10

        2,3 = 23/10 ...

 - Números decimais periódicos são racionais.

         0,1111... = 1/9

         0,3232 ...= 32/99

         2,3333 ...= 21/9

         0,2111 ...= 19/90

 -Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1.

IV) Números Irracionais

 - São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.

 -São compostos por dízimas infinitas não periódicas.

  Exs:
              

V) Números Reais

 - É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

Resumindo:
  

 

           

Exercicios de Geometria Espacial 1

1- O sólido sorteado pra você foi o Cilindro. Sabendo que sua altura é 20 cm e o raio da base é 1/ 2 da altura. Calcule a área lateral.

2-Um cilindro reto tem 8,4 cm de diâmetro. A altura mede 18,2 cm. Calcule a área lateral ,a área total e o seu volume.

3- Um galão de vinho de forma cilíndrica tem o raio da base igual a 2,5 m e sua altura  é de 2m. Qual o volume deste cilindro?

4- A área total de um cubo cuja diagonal mede 5√3 cm é:

5 - O sólido sorteado pra você foi o cubo cuja altura é 20 cm. Qual a diagonal deste

cubo?

6-  Calcule a aresta de um cubo de 27 m³ de volume.

7-- A soma das arestas de um cubo vale 30 cm, calcule a área total e o volume deste cubo.

8- Uma piscina de um clube tem 0,9m de comprimento, 0,8 m de largura e 0,7 m de altura. Qual o volume deste tanque?  

9-- Numa sala de 5,0 m por 4,0 m quer se colocar uma laje de concreto de 20 cm de espessura. Qual o volume de concreto usado nesta laje?

10-Qual o volume de concreto utilizado na construção de uma laje de 80 centímetros de espessura em uma sala com medidas iguais a 4 metros de largura e 6 metros de comprimento?    

11-Em uma piscina retangular com 10 m de comprimento e 5 m de largura, para elevar o nível de água em 10 cm são necessários: